数学高考考点案例分析---三角函数与平面向量

一、考纲解读

    三角函数和平面向量历来是高考的的重点内容，这两部分内容互相渗透，也和其他数学分支进行融合。因而在教学过程和高考试题中，这两部分内容的基础性、工具性以及渗透性都表现的淋漓尽致。

    三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。

    而平面向量的核心思想是数形结合，把几何意义用简洁的向量形式表示出来，用向量的运算去进行几何性质的推断；反过来，要会从向量的形式去解读出几何意义。

    常考点：1）三角函数的定义；2）同角三角函数的基本函数关系式；3）三角函数的图象和性质；4）三角恒等变换；5）正弦、余弦定理的应用；6）解三角形；7）平面向量的概念及运算；8）平面向量的基本定理及坐标表示；9）平面向量的数量积。

    易考点：1）三角函数的图象和性质；2）三角恒等变换；3）正弦、余弦定理的应用；4）解三角形；5）平面向量的基本定理及坐标表示；6）平面向量的数量积。

    必考点：三角函数的图象和性质，三角恒等变换，解三角形，平面向量的数量积。

二、近五年试题分析

    从表中可以看到，近五年山东高考三角函数的试题，基本上都考查了三角恒等变换，辅助角公式，并且经常从解三角形和函数 图形变换的角度考查三角函数的周期性、对称性、单调性和三角函数在给定区间上的最值等。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。从题号上来说，只有2013年的文科试题是第2个大题，其他年份都是第一个大题，属于容易题。从得分策略来说，这是不应失分的兵家必争之地。

三、真题再现

2011年山东高考数学试题

3.若点（a,9）在函数 的图象上，则tan= 的值为

（A）0    (B)    (C) 1    (D)

6.若函数  (ω>0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=

 (A)  (B)     (C) 2    (D)3

17.（本小题满分12分）

在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .

（I）                求 的值；

（II）            若cosB= ，

2012年山东高考数学试题

8、函数 的最大值与最小值之和为

   (A) 　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)

16、如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时， 的坐标为＿＿＿＿.

17、本小题 满分12分

在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 .

(Ⅰ)求证： 成等比数列；

(Ⅱ)若 ，求△ 的面积S.

2013年山东高考数学试题

7、 的内角 的对边分别是 ，

若 ， ， ，则

(A)     (B) 2      (C)     (D)1

15、在平面直角坐标系 中，已知 ， ，若 ，则实数 的值为______

18、(本小题满分12分)

设函数 ，且 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，

(Ⅰ)求 的值

(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值

2014年山东高考数学试题

7、 已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数

       (A)             (B)               (C) 0             (D)  

12、 函数 的最小正周期为　    　.

17、（本小题满分12分）

中，角A，B，C所对的边分别为 . 已知 .

（Ｉ）求 的值；

（II）求 的面积.

2015年山东高考数学试题

4. 要得到函数y=sin（4x- ）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（  ）

（A）．向左平移 个单位  （B）向右平移 个单位

（C）.向左平移 个单位   （D）向右平移 个单位

13. 过点P（1， ）作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则 =         .

17. (本小题满分12分)

中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知  

求  和  的值.

四、命题规律分析

    通过对近五年高考试题的统计分析，我发现了以下的规律：

    1、近五年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。高考一是设置一道或两道选择或填空题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用。从难度来说均属于中低档题目，所占分值在22分左右，约占总分值的13.3%。

    2、近五年的山东高考着重考查了辅助角公式、函数 图形变换、解三角形、三角函数的性质，尤其是对称性和在给定区间上的值域问题。

    3、近五年几乎每年都是作为高考的第一道大题进行考查，是学生容易得分的题目，做对该题可以增强学生的信心。

    4、五年中有四年的高考题是与解三角形相结合考查正余弦定理的相关内容， 其中2011年、2012年、2014和2015年的试题都是这样设计的，只有一年的高考题是与函数 图形变换相结合考查三角函数在给定区间上的最值问题， 其中2013年的高考是从这个方面考查的。

    5、2011年、2012年、2014和2015年高考题都考查了解三角形，直接把问题放到了三角形中，问题一出，大前提便是在三角形中，知识的考查更深一些。

    6、2013年的高考题都是结合函数 图形变换进行考查的，这两年的高考题都是利用降幂公式和辅助角公式先进行三角恒等变换，然后再进行图像变换，考查了三角函数在给定区间的值域问题。

例如：（2013年山东高考）(18)(本小题满分12分)

设函数 ，且 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，

(Ⅰ)求 的值

(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值

五、高考命题趋势预测

    通过对这五年的山东高考试题的研究，我发现高考对三角函数和平面向量的考查侧重于与三角形结合考查正余弦定理的应用问题，同时与函数 图形变换相结合考查三角函数在给定区间上的最值和值域问题也不容忽视。通过分析山东高考数学命题的趋势，我预测2016年山东高考将会继续考查降幂公式、辅助角公式、三角恒等变换、解三角形和三角函数在给定区间的值域问题等。通过对这五年山东高考命题的走向分析，我预测2016年的高考数学试题仍然会设计两小一大，即设置两个选择填空题，一个解答题，其中解答题将与解三角形相结合考查正余弦定理的相关知识。主要考查"三基"（基础知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，难度多为容易题和中档题。

六、复习建议

    1、在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。

    2、在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值 在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取

    3、要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等 对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性。

    4、向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。

    5、适当训练以平面向量为背景的解析几何题。解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的要懂得看出几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点分线段的问题，会使得问题简单化。复习中多训练一些这样的题目，就不会感到畏惧了。

    6、三角函数与平面向量这部分内容在高考中的难度要求是不高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。